Fachbereich Mathematik/Informatik

Jugend forscht '98

Magische Verschlüsselung
mit sprunghaft gefüllten Körpern

 
Mathematik
Magische Körper
[ Vereinbarungen ] [ Magische Körper ] [ Füllen mit Sprüngen ] [ Positionsbestimmung ] [ Der Gegenkörper ] [ Sprungkombinationen ] [ Sourcecodes ]
Allgemein
Willkommen
Einleitung
Arbeit
Mathematik
Verschlüsselung
Diskussion
Wettbewerb
Regionalwettbewerb
Landeswettbewerb
Rems-Murr-Kreis
Presse
Anhang
Feedback
Autoren
Literaturliste
Links
Dank

 

Das einfachste Beispiel für einen magischen Körper ist das Quadrat der Ordnung 3:

Magisches Quadrat (Ordnung 3)

8 1 6
3 5 7
4 9 2

Die Summe in jeder Spalte, jeder Reihe und den beiden Diagonalen ist immer gleich, in diesem Fall 15.

Die Kantenlänge läßt sich ebenso wie die Dimension beliebig erhöhen. In der folgenden Grafik haben wir einen Würfel der Ordnung 3 dargestellt:

3D-Ansicht eines magischen Würfels (Ordnung 3)

Diese auseinandergezogenen Schichten können zur Vereinfachung nebeneinander und eben dargestellt werden.
Hier dazu ein Beispiel anhand eines magischen Würfels der Ordnung 4:

Magischer Würfel (Ordnung 4)

64 2 3 61 * 17 47 46 20 * 33 31 30 36 * 16 50 51 13
5 59 58 8 * 44 22 23 41 * 28 38 39 25 * 53 11 10 56
9 55 54 12 * 40 26 27 37 * 24 42 43 21 * 57 7 6 60
52 14 15 49 * 29 35 34 32 * 45 19 18 48 * 4 62 63 1
Schicht 1 * Schicht 2 * Schicht 3 * Schicht 4

Hier stimmt auch die Summe in übereinanderliegenden Feldern (z.B.: 5+44+28+53). Die Diagonalensummen in der Ebene stimmen jetzt nicht mehr, dafür aber die im Raum (z.B. 64+22+43+1).

Diese Bildungsmthode kann problemlos in beliebig viele Dimensionen übetragen werden.


Definition von magischen und halbmagischen Körpern:

Ist ein regelmäßiger Körper aus den Zahlen von 1 bis n^d aufgebaut, und haben in ihm alle Geraden, die parallel zu einer der Kanten verlaufen, und die Diagonalen, die sich über alle Dimensionen erstrecken, dieselbe Summe, so nennt man diesen Körper magisch.

Stimmen die Summen nur in den Diagonalen nicht überein, nennt man den Körper halbmagisch.

Wir verwenden in der Praxis eine weitere Form, bei der die Zahlen mit 0 beginnen und bis n^d-1 gehen. Dies hat allerdings nur mit Rechenvorteilen für den PC zu tun.

Wir fassen beides unter der Bezeichhung magisch zusammen, da die magische Eigenschaft für die Verschlüsselung keine direkte Bedeutung hat.


Diese Bildungsmthode kann problemlos in beliebig viele Dimensionen übetragen werden.


Definition von magischen und halbmagischen Körpern:

Ist ein regelmäßiger Körper aus den Zahlen von 1 bis n^d aufgebaut, und haben in ihm alle Geraden, die parallel zu einer der Kanten verlaufen, und die Diagonalen, die sich über alle Dimensionen erstrecken, dieselbe Summe, so nennt man diesen Körper magisch.

Stimmen die Summen nur in den Diagonalen nicht überein, nennt man den Körper halbmagisch.

Wir verwenden in der Praxis eine weitere Form, bei der die Zahlen mit 0 beginnen und bis n^d-1 gehen. Dies hat allerdings nur mit Rechenvorteilen für den PC zu tun.

Wir fassen beides unter der Bezeichhung magisch zusammen, da die magische Eigenschaft für die Verschlüsselung keine direkte Bedeutung hat.

Zur Berechnung der magischen Summe werden im mehrdimensionalen Raum folgende Formeln verwendet:
Bei Beginn der Zählung mit 1: (1)
Bei Beginn der Zählung mit 0: (2)
Die Formel stimmt für Quadrate mit [1], S. 55 überein.

[ Zurück zu "Vereinbarungen" ]
[ Weiter zu "Füllen mit Sprüngen" ]

Fassung vom 3.2.1999

Copyright © 1997-99 by
Jan Theofel und
Martin Trautmann